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Abschätzung der Anzahl benötigter UT-runs zur Komplettierung eines vollständigen Torch-Sets

Hastus

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1 Januar 2017
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... ein ganz normaler Tag in UT

1672317517612.png 1672317587451.png

1. Einleitung

1.1 Überblick


So, nach dem zugegebenermaßen recht plakativen Start wäre es wohl nun an der Zeit zu umreißen, worum es überhaupt geht.

Zum Zeitpunkt des Eintippens dieser Zeilen habe ich D2:R seit einem Dreivierteljahr hauptsächlich im SP gespielt und war auch irgendwann UT-fähig. Für mich ist SP ein langfristig angelegtes Projekt und mit Ausnahme der Assassine habe ich auch von jeder Klasse einen Char > lvl80, und so war der Gedanke diese nach und nach mit den jeweiligen Torches auszustatten, welche ich den drei Tenören bei ihren Gesangstunden abluchste.
Das Farmen der keys kann durchaus mal öde werden und nach kurzer Zeit hatte ich schon manche Fackeln doppelt, aber andere noch gar nicht. In meinem Fall war der Bestand nach 11 runs: 3 Sorc, 3 Ama, 2 Pala, 2 Druid, 1 Assa, Barb und Nec fehlen noch. Mich hat dann ein wenig der Ehrgeiz gepackt und so habe ich mich daran versucht zu ermitteln, wie viel Leidenszeit, bzw. UT runs im statistischen Mittel notwendig sind, um irgendwann einen vollständigen Satz an biologisch abbaubaren Leuchtmitteln sein Eigen nennen zu können.​


1.2 Und für wen ist das Ganze nun gut?!

  • Leute, die ebenfalls im SP unterwegs sind und vor dem gleichen Problem stehen
  • Leute, die zwar online spielen, aber SP-ähnlich unterwegs sind und vor dem gleichen Problem stehen
  • jene, welche eine heftige Form von Holy Grail spielen und darum alle Torch-Klassen selbst finden möchten
  • alle, welche sich fragen, ob das Spiel sie hasst, weil nach 10 runs immer noch keine Sorc-Torch gedropped ist und ihre Einschtzung auf die Probe stellen möchten
  • einnfach aus Interesse an gewissen Spielmechaniken

Im Grunde ähnelt diese Übersicht der Aufstellung, wie viele cow-runs im Mittel investiert werden müssen, um eine HR zu farmen. Ich hoffe, dieser Beitrag kommt ähnlich gut an, und ihr habt ein wenig Spaß beim durchstöbern.


2. Annäherung an die Mathematik

2.1 Theorie


Im Vorfeld erschien es mir plausibel, dass die Rechnung nicht so einfach sein kann, zu erwarten nach 7 runs bereits alle Klassen besitzen zu können, denn es handelt sich hier nicht um ein Phänomen a la „Lostrommel ohne zurücklegen“, sondern alle Klassen sind bei jedem run aufs Neue gleich wahrscheinlich, und irgendwann steigt auch die Chance bereits vorhandene Klassen doppelt zu erhalten während andere immer noch im Sortiment fehlen.
Also was nun? In meinem Gedankenexperiment habe ich die Sache einmal von hinten aufgerollt und gefragt, wie viele runs noch notwendig sind, sobald bereits Torches von 6 Klassen vorhanden sind und somit nur noch eine fehlt. Das scheint machbar, denn die Chance auf die 7. Torch liegt bei 1/7, der Erwartungswert somit bei 7 runs um die letzte Torch zu erhalten. Die Gesamtanzahl an runs errechnet sich nun wie:​

1672317763692.png
Hiermit endet dann auch der theoretische Teil
... who knows, ob Blizzard irgendwann mal neue Klassen rausbringt? :rolleyes:


2.2 Experiment

Alle graue Theorie nützt ja nix, wenn sie falsch ist oder man sich in einer gedanklichen Sackgasse verrennt. Darum habe ich ein Tabellenkalkulationsprogramm bemüht und eine Reihe virtuelle Spieler (ja genau, virtuelle Spieler, die ein virtuelles Spiel spielen. Inception?) simuliert, welche alle solange runs abspulen, bis mindestens eine Torch jeder Klasse im Besitz ist. Im Groben sieht der Aufbau wie folgt aus:

  • eine große Spalte an Zufallszahlen zwischen 0 und 1 wird generiert, ich habe diese dann aber auf gleichmäßige Intervalle von 1 bis 7 aufgeteilt um die 7 Klassen einfacher zuordnen zu können.
  • eine Suchfunktion durchsucht diese Spalte und schreibt für jede Zahl von 1 bis 7 den Wert der Position zurück, an welcher die Zahl zum ersten Mal aufgetaucht ist.
  • die Anzahl an benötigten runs für ein komplettes Set ist nun die höchste dieser Zahlen.

Im folgenden Diagramm habe ich die Ergebnisse von 300 Spielern simuliert inkl. des Mittelwerts an der jeweiligen Position sowie dem zuvor theoretisch errechnetem Mittelwert als Anhaltspunkt.​

1672318624799.png

Ohne das Ende zu kennen wäre es wohl etwas zu sportlich gewesen die Reihe vor Spieler ca. 100 abzubrechen, aber ab ~120 stellt sich eine schöne Konvergenz ein und die Gesamtzahl von 300 Versuchen scheint ausreichend. In meinem Experiment beträgt der Mittelwert übrigens 18.0, was ich als gute Bestätigung des theoretischen Wertes von 18.15 erachte.

Da dies nun geklärt zu sein scheint, habe ich noch einen im Gepäck.

Das letzte Diagramm zeigt den Aufwand an runs an, der noch aufzuwenden ist abhängig von der Anzahl verschiedner Torches, die bereits im Besitz sind.
Dem ist zu entnehmen, dass nur für die letzten beiden Torches mehr runs aufgewandt werden müssen (ca. 10 runs) als für die ersten 5 zusammen (nur ca. 8 runs)! Erklären lässt sich dies dadurch, dass die Wahrscheinlichkeit zukünftige Ereignisse nicht vom bisherigen Ergebnis ahängt, aber unser Erfüllungskriterium sehr wohl.​

1672394971129.png


3. Fazit
Im statistischen Mittel werden 18 UT runs benötigt, um mindestens eine Torch einer jeden Klasse zu finden.
Wenn euch also das Gefühl beschleicht, dass es zum Ende hin ewig dauert, ist das höchstwahrscheinlich sogar korrekt. :D
Mögen jene, die ihr doppelt und dreifach besitzt besser sein als in obigem Beispiel!


4. Zuschauerfragen

4.1 User CAD möchte wissen: Wie hoch sind die Chancen, dass jede Torch dabei noch einen 16/16 bzw. 18/18 roll aufweist?


Hierzu errechnen wir zuerst einmal allgemein die Chancen auf einen 16/16+, bwz. 18/18+ roll.
Im Falle 16/16+ ergeben sich 5X5 = 25 Kombinationen, bei 18/18+ sind es nur noch 3X3 = 9 Kombinationen.
Insgesamt kann eine Torch 11X11 = 121 verschiedene Kombinationen an Attributen und Resistenzen aufweisen.

Also erscheint plausibel:

1672352142485.png

In beiden Fällen enstehen höhere Durchschnittsrunzahlen, darum habe ich die Simulation im Fall von 16/16+ bis 400 runs, und die Reihe 18/18+ bis 500 runs ausgewertet und gemittelt.

Die simulierten Mittelwerte liegen für 16/16+ bei 88,3 und für 18/18+ bei 244,2. Der längere run konvergiert also besser, allerdings ist der Fehler des anderen zu dem Zeitpunkt des Abbruchs auch bei <1%.

Hier sind noch die Diagramm zum Fallbeispiel 16/16, für 18/18 ist der Trend ganz ähnlich, also spare ich mit das.

1672352602250.png


4.2 User LastCorpse möchte wissen: Wie viele runs sind nötig um mit 90/95 prozentiger Wahrscheinlichkeit erfolgreich zu sein?

Hierzu habe ich die Ausganssimulation, also die Version ohne 16/16 oder 18/18 Einschränkung von 300 Spielern auf 500 erweitert, das Ganze nochmals wiederholt und für beide Testreihen die kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnet.
Die Tabelle ist so zu verstehen, dass die jeweilige Prozentzahl angibt, welcher Anteil der Spieler damit rechnen kann maximal die in der Spalte "Anzahl UT runs" zugeordnete Zahl an Versuchen zu benötigen. Schauen wir z.B. nach dem Wertepaar "Anzahl UT runs = 14", findet sich in Spalte Testreihe 1 dazu der Wert 39.6%. Dies bedeutet, 39.6% aller Spieler benötigen nicht mehr als 14 Versuche um ein Set an Torches zu vervollständigen.
Die Aussage zu der 90%-Schwelle liegt für beide Testreihen recht nah beieinander mit 28 bzw. 29 runs, jenseits dessen rate ich aber dazu die Werte mit Vorsicht zu genießen, denn zum oberen Ende hin nimmt die Genauigkeit ab. Zudem ist die Aussage zu den 100% ganz am Ende der Reihe nicht korrekt, denn die Anzeige ist nur der Tatsache geschuldet, dass ich die Reihe irgendwann abbrechen und die jeweiligen Häufigkeiten auf den Gesamtwert von 500 Spielern beziehen musste. So suggeriert die Testreihe 1 ein Maximum von 47, allerdings ist in Testreihe 2 sogar ein noch höherer Wert von 50 aufgetaucht, und absolute Garantien für ein Maximum gibt es nicht.



Anzahl UT runs
Testreihe 1
Testreihe 2
7​
0,6%​
0,8%​
8​
1,8%​
2,4%​
9​
5,0%​
6,2%​
10​
11,4%​
12,0%​
11​
17,4%​
16,6%​
12​
24,2%​
21,8%​
13​
31,6%​
28,2%​
14​
39,6%​
35,0%​
15​
45,8%​
42,0%​
16​
51,0%​
48,0%​
17​
58,0%​
53,0%​
18​
61,4%​
60,6%​
19​
65,4%​
65,2%​
20​
70,2%​
69,8%​
21​
74,4%​
72,4%​
22​
77,6%​
74,8%​
23​
81,8%​
78,0%​
24​
84,0%​
80,4%​
25​
85,8%​
84,4%​
26​
87,8%​
86,4%​
27​
89,6%​
87,6%​
28
90,8%
88,4%​
29
92,8%​
90,4%
30​
94,2%​
91,4%​
31
95,4%
92,0%​
32​
96,4%​
93,2%​
33​
96,6%​
94,0%​
34
97,2%​
95,8%
35​
97,4%​
96,4%​
36​
97,8%​
97,4%​
37​
98,8%​
97,4%​
38​
98,8%​
97,6%​
39​
99,0%​
97,6%​
40​
99,4%​
98,0%​
41​
99,4%​
98,8%​
42​
99,4%​
99,2%​
44​
99,6%​
99,4%​
45​
99,8%​
99,8%​
47​
100,0%
99,8%​
50​
100,0%
100,0%

5. Dokumentation eigener UT runs

Zum Abschluss möchte ich euch noch an meinem persönlichen Leidensweg teilhaben lassen. Ich spiele SP HC und erledige die hellfire quest mit insgesamt drei Chars. Die da wären:

UT-Smiter, lvl 89
Terror & Hate key FO/Hydra Sorc: RIP mit lvl 88 bei der Gräfin
Terror & Hate key Blitzhexe, lvl 87
Dest key Druide, lvl90

Im folgenden sind die Funde dokumentiert, Kommentar jeweils aus der Situation, teilweise durchaus auch aus der Emotion heraus.


#1: Pala 20 || 14
#2: Sorc 14 || 12
#3: Ama 14 || 12
#4: Pala 10 || 15
#5: Ama 20 || 11
#6: Ama 11 || 11
#7: Sorc 18 || 19 ...........(Fluch gebrochen mit meinen low res rolls) :eek:
#8: Sorc 11 || 18
#9: Dudu 14 || 12
#10: Assa 17 || 20 ..........(wow nice) :eek:
#11: Dudu 20 || 20 ..........(läuft anscheinend) :D
#12: Sorc 16 || 16
#13: Dudu 11 || 10 .......... (wird wohl Zeit abergläubisch zu werden)
#14: Sorc 16 || 12 ........... (zu diesem Zeitpunkt sind 1/3 aller meiner Torches Sorc Torches)
#15: Dudu 10 || 15
#16: Dudu 14 || 17
#17: Dudu 18 || 11 .......... (drei Mal Druid in Folge, wer bietet mehr?)
#18: Pala 16 || 17
#19: Barb 18 || 12 .......... (yes!, Capt. RNG zeigt Erbamen mit mir. Fehlt nur noch Nec. GoGoGo)
#20: Dudu 12 || 14
#21: Dudu 18 || 10 .......... (hey Capt. RNG! Ich habe jetzt 8 Dudu Torches. Mir fehlt eine Nec. Ich sags ja nur...)

#22: Barb 20 || 10 ............(so wie die Barb Torch vorher, nur beide stats nochmal um 2 weiter entfernt)
#23: Necro 13 || 11 ...........(endlich dürfen wir jubeln! Es ist vollbracht!)

Mit einer muffigen 13/11 Necro Torch geht also mein eigenes Experiment nach 23 runs zu Ende.
Das heißt, wohl nicht ganz, denn mit dem Druiden bin ich in Vorleistung gegangen und habe schon für drei weitere runs dest keys gehamstert. Die werde ich bei Gelegenheit noch in Leuchtmittel umtauschen, denn für die Ama und Nec hätte ich schon noch gerne welche mit besseren rolls, die Ergebnisse werde ich hier aber nicht mehr eintragen.

Ich liege demnach über dem Erwartungswert, das ist aber noch kein Desaster, schließlich gab es auch einige Werte von 30+ laut Simulation.

Mitten beim Terror key farmen auf P3 ist mir bei ca. der Hälfte der Studie meine damalige FO / Hydra Sorc geripped, als ich etwas übermütig glaubte die Verfluchung vor der Gräfin ignorieren zu können und dann von einem Fana-Bogenschützinnen-Bosspack geoneshotted wurde. Mit ihr ist auch die 14/12 Sorc-Torch in den ewigen Jagdgründen verschwunden. Die Vertretung wurde dann auf light only ausgelegt, da ich damit besser der Gräfin direkt zusetzen konnte, schließlich ist diese immer FI & CI und so musste mein Merc mit seiner non-eth insight immer ran, und das hat mir zu lange gedauert. Die Blitzsorc stelle ich vielleicht mal im Turm vor, deren Spielweise ist gelinde gesagt "speziell".
Der Druide wurde als mein allererster Char überhaupt in HC durch Hölle gebracht, damals noch als Summoner, was nie wirklich kritisch, aber ausgesprochen zäh war. Dank eines PoN konnte ich diesen zuerst zum FC/Maul Bären umbauen zum Dest-key farmen, nach einiger Zeit bin ich aber auf einen Fury / FC Hybriden mit der gleichen Ausrüstung umgestiegen, da dieser schneller läuft und single target attack ging mit einfach viel zu viel auf den Keks, besonders gegen die Schinder-Kinder. Der Druid hat nach dem erstmaligen Durchspielen kein anderes Gebiet außer Nihla zu Gesicht bekommen und hat dabei genau zum Ende lvl 90 erreicht und damit sogar den Pala überholt, welchen ich auf lvl89 geparkt und nur zum Organe und Fackel holen eingesetzt hatte. Die Vertretungs-Sorc wurde nur bis Anya angespielt und hat allein durch terror und hate key farmen mehr als die Hälfte von lvl88 erreicht. Wer hätte das gedacht.



Die allseits unbeliebte Druid Torch hat mit einem Anteil von erstaunlichen 8/23, was etwas mehr als einem Drittel aller Torches entspricht, mit Abstand den ersten Platz belegt. Grund eine Verschwörung zu wittern gibt es trotzdem nicht, denn mit 5 Exemplaren folgt dahinter direkt die Sorc-Torch.

1674073135334.png

Bis run #7 musste ich warten, bis endlich eine Torch mit guten res droppte, insgesamt sieht die Verteilung am Schluss aber ziemlich nach RNG aus und ich konnte sogar eine perfekte Torch (Druid, was sonst) an Land ziehen.

Mit dem Eindruck nach dem Identifizieren der letzten Torch, die das Set vervollständigt, möchte ich hiermit enden und hoffe, ihr hattet etwas Spaß beim Durchstöbern.

1674072467240.png

LG
Hastus
 
Zuletzt bearbeitet:
Danke, darüber hatte ich auch schon nachgedacht, wenn auch nicht so mathematisch überzeugend. In den SP-Threads gibt es glaube ich noch den ein oder anderen Post zu meiner Fackeljagd, am Schluss waren es glaube ich gut 20 Runs bei mir.
Vielleicht wäre es noch interessant, eine Kalkulation aufzustellen, wie viele Versuche es im Schnitt für 7 gute Fackeln braucht? Also sagen wir Summe 32 oder Summe 36 (also entspricht ca. 16/16 oder 18/18). Ich bin nämlich gerade mal wieder bei ein paar Runs, weil ich gerne noch das eine oder andere Upgrade hätte, fürchte aber, es kann ewig dauern bis ich etwas besseres bekomme als 19/13 für die Assa...
 
Soviel Text für eine einfache Antwort :D es braucht 7 Runs. Was doppelt ist tauscht/traded man. Es müssen ja nicht gute Fackeln sein war ja keine vorgabe ;) Bitte meine Antwort nicht zu ernst nehmen :)
 
Vielleicht wäre es noch interessant, eine Kalkulation aufzustellen, wie viele Versuche es im Schnitt für 7 gute Fackeln braucht? Also sagen wir Summe 32 oder Summe 36 (also entspricht ca. 16/16 oder 18/18).
Also 18/18+ ist schon eine Ansage, denn dabei bleiben ja nur 9/121 Kombinationen übrig. Ich kann aber bestimmt mein tool dahingehend erweitern, dass die stats & res rolls ebenfalls mit aufgenommen werden. Vielleicht komme ich heute Abend oder morgen dazu und schiebe eine neue Simulation an.
 
Die ~18 Versuche sind nur der Durchschnitt. Wie viele Versuche müsste ich denn einplanen, wenn ich mit hoher Wahrscheinlichkeit (90 oder 95%) alle sieben Facken haben möchte?

Ich würde noch erwähnen, dass das eine reine Ex-Ante-Betrachtung ist, die sich nicht auf bereits laufende Versuche übertragen lässt.
Bei laufenden Versuchen gilt dann:

1/17,15
2/15,98
3/14,58
4/12,83
5/10,5
6/7
(bereits vorhandene Fackeln/noch benötigte Versuche)
 
Interessant zu lesen; ich mag so etwas :D


Falls es jemanden interessiert, dazu ein paar empirische Daten von mir; vielleicht mache ich am Ende der Ladder nochmal eine Auswertung :)


Anzahl meiner Runs in Ladder#2 bisher:

SUMME
183​
AMA
28​
ASSA
25​
BARB
25​
DRUID
30​
NEC
27​
PALA
20​
SORC
17​
UNID
11​
(ist ja klar, dass Druid am häufigsten und Sorc am seltensten vorkam ;) :ugly: )



Run-Streak, bis ich ein komplettes Set (mindestens einmal jede Klasse) vollständig hatte:
Run 1-14 = 14
Run 15-54 (-7 unid) = 33
Run 55-75 (-2 unid) = 19
Run 76-89 = 14
Run 90-104 = 15
Run 105-121 = 17
Run 122-143 (-1 unid) = 22
Run 144-156 = 13
Run 157-167 = 11
Run 168-178 = 11
Avg = 16,9 Runs.
 
kleines update:

Ich glaube, ich editiere eine Rubrik "Zuschauerfragen" oben rein. :D

Die von CAD habe ich jetzt durchgerechnet und simuliert, scheint stimmig zu sein und wird in der nächsten halben Stunde oder so hochgeladen, je nachdem wie die Verbindung und Formatierung gerade mitspielt.

@LastCorpse:
Die Änderung der Darstellung auf "noch zu erledigende runs" scheint mir sinnvoll und wahrscheinlich intuitiver. Ich werde das Morgen einmal in Angriff nehmen. Deine Frage nach der 90% und 95% Grenze ist eine härtere Nuss, da muss ich auch Morgen einmal reinschauen.

KH183 liegt mit seinen Realdaten wohl gut im Trend. Die Blocks entsprechen 10 Spielern aus meiner Simulation, nur dass KH183 sogar näher am Erwartungswert zu diesem Zeitpunkt ist, als der Mittelwert der Simulation.
 
Deine Frage nach der 90% und 95% Grenze ist eine härtere Nuss, da muss ich auch Morgen einmal reinschauen.
Hmm, vielleicht: Binominalverteilungen drüberlaufen lassen und die jeweiligen gewünschten Konfidenzintervalle als Kumulierte Wahrscheinlichkeiten nach n Versuchen anschauen?

Wenn man die Ereignisse einzelne betrachtet, sagt Excel mir, dass man nach 1+2+2+3+5+7+15 Versuchen (also insg. 35 Versuchen) mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit (7/7, 6/7, 5/7, ...) mit immer mehr als 90%er Wahrscheinlichkeit die jeweils fehlende Fackel hat.
Da es sinnvoller Weise keine Bruchteils-Versuche gibt, ist man damit zwar immer schon in einer höheren Konfidenz (98%, 92%, 92%, 94%, ...), aber eine Dichtefunktion als Wahrscheinlichkeitsverteilung macht hier wohl keinen Sinn, oder? 😇

Edit:
Für mindestens 95% Sicherheit bräuchte man 1+2+3+4+6+9+20 = 45 Versuche
Für mindestens 99% Sicherheit bräuchte man 1+3+4+6+9+14+30 = 67 Versuche
 
nächstes update:

- Anmerkung von LastCorpse zur Darstellung der Anzahl noch benötigter runs übernommen und anders dargestellt. Gefällt mir auch jetzt
besser so
- bestehende Testreihen erweitert und eine weitere hinzugefügt, 90% bzw. 95% Grenzen betrachtet und aufgelistet.
 
Interessant zu lesen; ich mag so etwas :D


Falls es jemanden interessiert, dazu ein paar empirische Daten von mir; vielleicht mache ich am Ende der Ladder nochmal eine Auswertung :)


Anzahl meiner Runs in Ladder#2 bisher:

SUMME
183​
AMA
28​
ASSA
25​
BARB
25​
DRUID
30​
NEC
27​
PALA
20​
SORC
17​
UNID
11​
(ist ja klar, dass Druid am häufigsten und Sorc am seltensten vorkam ;) :ugly: )



Run-Streak, bis ich ein komplettes Set (mindestens einmal jede Klasse) vollständig hatte:
Run 1-14 = 14
Run 15-54 (-7 unid) = 33
Run 55-75 (-2 unid) = 19
Run 76-89 = 14
Run 90-104 = 15
Run 105-121 = 17
Run 122-143 (-1 unid) = 22
Run 144-156 = 13
Run 157-167 = 11
Run 168-178 = 11
Avg = 16,9 Runs.

Die 11 unid verteilen sich sicher auf Sorc und Pala, dann passt die Verteilung...
 
Die 11 unid verteilen sich sicher auf Sorc und Pala, dann passt die Verteilung...
Hehe, mag sein. Wobei diese Ergebnisse noch voll innerhalb einer Standardabweichung liegen. Dass die 11 Torches so verteilt sind, wäre dagegen sehr unwahrscheinlich 😇

(Gestern sind übrigens bei fünf Runs noch zwei Sorc Torches dazugekommen; wird also besser)
 
Zur Info:
Ich habe soeben den Anfangspost noch um meinen persönlichen Erfahrungsbericht ergänzt.
 
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