Hilfe bei Matheaufgabe

[Optimus Prime]

Hallo Leute,

hier erst einmal die Unterlagen, es geht um aufgabe 7:



wenn ihr euch die aufgaben durchgelesen habt, dann bitte nich sofort anfangen zu rechnen.
a) habe ich schon so gelöst, ergebnisse folgen unten.
b) ist nich so wichtig, das kann auch selbst.
c), hier ist der knackpunkt. nach angaben des lehrers muss man hier irgendwie eine formel erstellen, die den abstand der beiden flugzeuge in abhängigkeit von der zeit darstellt. es geht also stark in die analysis. danach kann man an der funktion dann wohl das minimum suchen, was dann ja den kleinsten abstand darstellen wird, so hab ich mir das zumindest gedacht...
also nochmal in kurz: ich brauch ne funktion, die den abstand der flugzeuge in abhängigkeit von t darstellt, bisher hatte ich ja erste den abstand der flugroute berechnet, was ja prinzipiell keine rolle für die piloten spielt, da sie ja zu unterschiedlichen zeitpunkten druch die selbe stelle fliegen können.

ergebnisse aus a)
für sportflugzeug: g: x(pfeil)=[0;4;2]+t*[200;-100;0]
für militärflugzeug: h: x(pfeil)=[3;0;3]+u*[0;500;-100]

dann 2 punkte gewählt, einen punkt P auf g und den lotfußpunkt F auf h, vektor PF erstellt. bedingungen aufgestellt (beide seiten rechter winkel). dann LGS per matrix gelöst und folgende werte für die variablen erhalten:
t=31/2100 und u=11/2100

die strecke für den vektor PF ist damit Wurzel(105)/21=0,4880

die flugzeugrouten nähern sich also bis auf maximal 488m

also aufgabenteil c) kann von einem schüler als "mini"-vortrag gehalten werden. ich würd das gern machen, aber hab keine ahnung, wie das geht. ich wäre also dankbar, falls ihr erklären könnt, wie ihr auf das ergebnis gekommen seid.

danke schonma

 

[TomGrenn]

Abstand von zwei Punkten zueinander:
Wurzel aus (dx²+dy²+dz²) mit dx = x2-x1, usw.
Punkt 1: (200t,4-100t,2), Punkt 2: (3,500t,3-100t) mit t in [h]
(Die Punkte sind durch t eben leider parametriesiert)

In Abstandsformel einsetzen, Minimum ausrechnen, Ergebnis: Lösungswert für t (Zeitpunkt, an dem die zwei Flugzeuge minimalen Abstand haben), t in eine beliebige Formel für Flugzeugaufenthaltsort einsetzen (also Punkt 1 oder 2), fertig.

Was muss genauer erklärt werden?

 

[Optimus Prime]

demnach wäre die funktion für den abstand:

f(t)=wurzel((3-200t)²+(-4-400t)²+(1-100t)²)

wenn ich das in meinen schlauen rechner eingebe, dann sieht das aus wie

f(x)=|x|

und das kann definitiv nicht sein

EDIT: mir fällt ein, dass man bei dieser formel ja garnicht darauf eingeht, wo die flugzeuge starten. das muss da irgendwie rein

EDIT2: das mit den startpunkten is ja quatsch, die stecken ja doch ganz am anfang mit drin... trotzdem geht das so noch nich

 

[Okuwambo Joe]

hmm glaube das die flugzeuge sich rammen oder wenn nur ganz knapp aneinander vorbeifliegen.
aber ich versuchs nochmal zu rechnen

 

[TomGrenn]

f(t)=wurzel((3-200t)²+(-4-400t)²+(1-100t)²)
führt auf die Rechnung:
9 - 1200t + 40.000t² + 16 + 3200t + 160.000t² + 1 – 200t + 10.000t²
= 26 + 1.800t + 210.000t²

Also nix mit nur t² (Wurzel t² = Betrag von t)!

 

[smartiie]

Müsste es nicht f(t)=wurzel((3-200t)²+(-4+600)²+(1-100t)²) sein?

Dann wäre die innere Ableitung 820000t - 6200, der Zeitpunkt also 31/4100 Stunden (solange der Nenner an diesem Punkt ungleich Null ist) und der Abstand 105/41 km.

 

[Easy Eight]

€: äh ja, einfach weiterscrollen..

 

[Optimus Prime]

Müsste es nicht f(t)=wurzel((3-200t)²+(-4+600)²+(1-100t)²) sein?

Dann wäre die innere Ableitung 820000t - 6200, der Zeitpunkt also 31/4100 Stunden (solange der Nenner an diesem Punkt ungleich Null ist) und der Abstand 105/41 km.

jap hast recht, muss 600 sein

EDIT: @smartiie
wozu brauchst du die innere ableitung?

 

[smartiie]

Das Minimum von f berechne ich mit der Gleichung f'(x)=0. Da f in etwa so aussieht:

wurzel( irgendwas ungleich "nur" x) = Wurzel( g(x) )

, benutze ich die Kettenregel:
f'(x) = Ableitung der Wurzel an der Stelle g(x) multipliziert mit g'(x).
Ableitung der Wurzel ist die äußere Ableitung, g'(x) ist die innere Ableitung, weil g(x) halt in (bzw. unter) der Wurzel stand.

In diesem Beispiel: g(t) = 410.000t² - 6.200t + 26
Also 0 = f'(t) = 1 / (2*Wurzel(g(t)) * (820.000t - 6.200)
Um das auszurechnen reicht es 820.000t - 6.200 = 0 nach t aufzulösen (solange g(t) in der Lösungsstelle nicht Null wird).
Ich brauch also nur die innere Ableitung (g') = 0 zu setzen und nicht das gesammte f'.

 

[Optimus Prime]

Müsste es nicht f(t)=wurzel((3-200t)²+(-4+600)²+(1-100t)²) sein?

Dann wäre die innere Ableitung 820000t - 6200, der Zeitpunkt also 31/4100 Stunden (solange der Nenner an diesem Punkt ungleich Null ist) und der Abstand 105/41 km.

ich habe für den abstand ~5,27535 raus

lassma zwischenergebnisse vergleichen: f(t)=wurzel(26-6200t+410.000t²)
das minimum liegt bei t=0,007561=31/4100 und y=1,6003 wobei ich eigentlich dachte, dass das ja schon der abstand sein muss, also 1,6003, was ja irgendwie nicht hinkommt

dann hab ich t in g und h eingesetzt, die punkte der beiden flugzeuge ausgerechnet:
punkt von sportflugzeug: S( (62/41) / (133/41) / (0) )
punkt von militärflugzeug: M( (3) / (155/41) / (92/41) )

dann vektor zwischen den beiden punkten berechnet: [1,4878;4,53659;2,2439]
der betrag des vektors ist dann, wie schon anfangs gesagt: 5,27535

 

[smartiie]

Ach, ich depp. Sorry, hab die Wurzel vergessen:
f(31/4100) = Wurzel(105/41) = 1,6003...

Wenn du dein Sportflugzeug vom Boden kratzt und auf die richtige höhe setzt, dann kommt beim Abstand der Punkte auch (genauso wie bei mir) das richtige Ergebnis raus .

[edit]: Mit dem letzten Satz wollte ich auf

punkt von sportflugzeug: S( (62/41) / (133/41) / (2) )

hinweisen.

 

[Optimus Prime]

Hast dann ne Ahnung, wo ich den Fehler gemacht hab, dass ich am Ende als Länge für den Vektor SM ~5,28 hab?

auch geiler vektor, gell? (SM)