Etwas länger formuliert, und imho etwas einfacher vom Ansatz her
(Primzahlen leben hoch!):
Herr Produkt: "Ich kenne die beiden Zahlen nicht."
Wir überlegen:
Die möglichen Zahlen sind:
2 und 7
3 und 5
8 und 11
4 und 13
2,5,7,11,13 sind Primzahlen. Ein Produkt aus 2 Primzahlen lässt sich nur durch ebendiese ausdrücken (siehe Primfaktorzerlegung, immer eindeutig), also würde Herr Produkt erkennen wenn es sich um 2 und 7 oder 3 und 5 handeln würde. (14 und 15 lassen sich eindeutig 2 Faktoren zuordnen)
-> 2 und 7 sowie 3 und 5 schließen wir aus.
Herr Summe: "ich wußte aber, daß Sie sie nicht kennen."
Wir überlegen:
Die möglichen Zahlen sind:
8 und 11
4 und 13
Herr Summe kennt also entweder 19 oder 17. Die Frage, die wir uns jetzt stellen müssen ist, mithilfe welcher von beiden Zahlen er ausschließen kann, dass Herr Produkt das Ergebnis kennt.
Wann kennt Herr Produkt das Ergebnis? Wenn es genau 2 Primfaktoren hat.
Also überlegt sich jetzt Herr Summe welche Zahlen überhaupt in Frage kommen:
Angenommen er hat die 19.
17 + 2
16 + 3
15 + 4
14 + 5
13 + 6
12 + 7
11 + 8
10 + 9
Herr Summe weiß jetzt, dass Herr Produkt das Produkt aus beiden Zahlen hat. Das Produkt ist nur eindeutig (s.o.), wenn beide Zahlen Primzahlen sind.
In dieser Liste sind 17 und 2 ein Paar von Primzahlen, mit dem Produkt 34.
Herr Summe kann nun nicht wissen welches Produkt es sein wird, es KÖNNTE 34 sein, und wenn es 34 WÄRE, dann wüsste Herr Produkt, dass es 2 und 17 sind (weil sich 34 nur durch 2*17 als Produkt ausdrücken lässt). Aber Herr Summe ist sich ja _sicher_, dass Herr Produkt es nicht ist.
-> Es ist nicht 19, dh nicht 8 und 11
Wir wissen schon, dass es nicht 2 und 7 oder 3 und 5 ist, also MUSS es 4 und 13 sein.
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Wir können das ganze ja spaßeshalber nochmal für die 17 machen:
15+2
14+3
13+4
12+5
11+6
10+7
9+8
In dieser Gruppe gibt es kein einziges Pärchen von Primzahlen. Also kann, wenn Herr Summe die 17 hat er sich sicher sein, dass Herr Produkt das Ergebnis nicht kennen kann.
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Der weitere Teil des Rätsels ist eigentlich für die Lösung nicht mehr interessant, können wir aber trotzdem mal machen.
Herr Produkt: "Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt."
Herr Produkt weiß jetzt, dass die Summe der Zahlen nicht als Summe von 2 Primzahlen ausgedrückt werden kann. ER hat die 52.
52 = 2*2*13 = 4*13 = 2*26
4*13 und 2*26 sind die einzigen beiden Arten auf die 52 in ein Produkt aus 2 Faktoren zerlegt werden kann.
Also weiß Herr Produkt jetzt, dass Herr Summe entweder die 17 (4+13) oder die 28 (2+26) hat.
Wir wissen ja schon, dass es die 17 ist, also machen wirs jetzt nur für die 28.
Mögliche Summen von 28 mit 2 Summanden:
26+2
25+3
24+4
23+5
Hier können wir nun aufhören, da 23 und 5 Primzahlen sind. Herr Produkt kann also die 28, dh 2 und 26 ausschließen, er weiß nun, dass es die 17, dh 4 und 13 sein muss/müssen.
"Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt auch."
Herr Summe weiß nun, dass sich alle möglichen Zahlen von Herrn Produkt nur so in 2 Faktoren Zerlegen lässt, dass sich die Summe aus den Faktoren nur bei einer Zahl so in 2 Summanden zerlegen lässt, dass kein Primzahlpärchen auftritt.
Das ist mir jetzt aber zu viel Rechenarbeit, ich bin doch nicht Herr Summe
Herr Summe würde jetzt oben bei der 30 anfangen, diese in Primfaktoren zerlegen (30 = 2*3*5), daraus alle möglichen Kombinationen aus 2 Faktoren bilden (6*5, 3*10, 2*15), aus diesen die Summe bilden und das tun, was Herr Produkt im obigen Absatz gemacht hat.
Und das so lange, bis er eine Zahl (52) findet, bei der nur bei einer Zahl eine Zerlegung ohne Primzahlenpärchen möglich ist.
