Wichtige Frage zum Thema Statistik (billige Aufgabe inside)

[SchabernackTreiber]

Grüß euch,

geht um folgendes: Ein Schwarzfahrer hat an jedem beliebigen Tag p = 0,12 Wahrscheinlichkeit, erwischt zu werden. (Unabhängig von einander).

Aufgabenstellung:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 4 Tage in Folge schwarz zu fahren und exakt am 5. Tag erwischt zu werden.

Die Klausurlösung ist meiner Meinung nach falsch und ist wüsste gerne von euch, ob ich entweder einen Denkfehler habe oder recht habe. Meine Überlegung ist folgende:

Wahrscheinlichkeit für 4x "nicht erwischt werden" 1 - p = 0,88 ^ 4 * Wahrscheinlichkeit "erwischt werden" durch Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten. Interessant ist nämlich nur die Möglichkeit, dass er 4 mal in Folge schwarz fährt und am 5. Tag erwischt wird (oder anders: Eine der möglichen Permutationen bei 4 gleichen Elementen von (0,88^4)*0,12. Deshalb rechne ich:

((0,88 ^ 4) * 0,12) / 5

Meiner Meinung nach schließt die Formel, ohne dass ich durch n Teile auch z.B. die Situation "am 3. Tag kontrolliert werden und dann zwei Tage nicht kontrolliert werden" mit ein.

Rechnen würde man das ja dann:
0,88 * 0,88 * 0,12 * 0,88 * 0,88, was zusammengefasst eben wieder 0,88^4*0,12 geben wird.

Die Klausurlösung sagt jetzt nur:
(0,88 ^ 4) * 0,12

Kann mir jemand bitte helfen?

 

[Conic]

Nochmal, warum teilst du durch 5? Das ist mir nicht klar. Es ist schon richtig:
Chance nicht erwischt zu werden am 1.-4. Tag (jeweils) = 0,88
=> An 4 Tagen hintereinander nicht erwischt werden = 0,88^4

Chance am 5. Tag erwischt zu werden = 0,12
=> Chance genau am 5. Tag erwischt zu werden = Chance an den ersten 4 Tagen nicht erwischt zu werden * Chance am 5. Tag erwischt zu werden = 0,88^4 * 0,12

Wenn die Aufgabenstellung heißen würde: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 5 Mal schwarzfahren einmal erwischt wird, dann musst du 0,88^4*0,12 * 5 rechnen. Ich glaube das war dein Knackpunkt. Bei Permutationen musst du multiplizieren und nicht bei speziellen Ereignissen teilen.

Edit:
Nur der Vollständigkeit halber, damit's ganz klar ist:
Chance genau am 1. Tag erwischt zu werden = 0,12 * 0,88 * 0,88 * 0,88 * 0,88
Chance genau am 2. Tag erwischt zu werden = 0,88 * 0,12 * 0,88 * 0,88 * 0,88
Chance genau am 3. Tag erwischt zu werden = 0,88 * 0,88 * 0,12 * 0,88 * 0,88
Chance genau am 4. Tag erwischt zu werden = 0,88 * 0,88 * 0,88 * 0,12 * 0,88
Chance genau am 5. Tag erwischt zu werden = 0,88 * 0,88 * 0,88 * 0,88 * 0,12

ist jeweils 0,88^4 * 0,12

Chance bei fünfmal Schwarzfahren genau an einem Tag erwischt zu werden = Summe aus den Einzelergebnissen = 5 * 0,88^4 * 0,12

 

[SchabernackTreiber]

Gut, dann war die Überlegung ansich ja richtig, nur gerechnet hab ichs falsch . Immerhin.

Ich rekapituliere nochmal: Die Wahrsch. an einem beliebigen Tag erwischt zu werden ist 5x so hoch, wie wenn man einen speziellen Tag betrachtet. Nur, dass ich eben mit 5 multipliziere, und nicht durch 5 teile.

 

[Conic]

Die Wahrsch. an einem beliebigen Tag erwischt zu werden ist 5x so hoch, wie wenn man einen speziellen Tag betrachtet.

Vorsicht mit der Formulierung. "An einem beliebigen Tag" ist nicht ganz klar. Das könnte auch den Fall 1. und 3. Tag einschließen. Schreib dann lieber "an genau einem der fünf Tage" oder ähnliches. Eindeutige Beschreibungen sind äußerst wichtig in der Mathematik, auch wenn die ab und an ein bisschen doof klingen. Also immer die Aufgabenstellungen genau lesen!

 

[SchabernackTreiber]

Ja, so meinte ich das ja. An einem einzigen beliebigen Tag oder eben an "einem der fünf Tage".

Alles klar, danke dir.

Nur Pro Forma: Die Wahrscheinlichkeit, an jedem beliebigen Tag kontrolliert zu werden (ergo 1. Tag, oder 1. und 2. oder 1,2,3,4,5 etc) ist

1 - 0,88^5, also 1 - Wahrsch., garnicht kontrolliert zu werden.