Breath of the Dying
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welchem Wert nähert sich x an wenn x=(1-[1/n])^n ist bei hoch genugem n
frohes fest
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kleine mathefrage :D
- Ersteller Breath of the Dying
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Hasentod
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wolfram ist btw allgemein gut für sowas. also wenn man nichts dabei lernen will...
Breath of the Dying
Ist öfter hier
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was is das Problem?
aber wenn du mich aufklären kannst, bzw ein Arbeitsblatt verlinken kannst WARUM 1/e dabei rauskommt, immerher damit =)
Hell's Guardian
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Der Beweis läuft ein wenig um die Ecke...
Erstmal vereinfachen wir den Klammerterm indem wir ihn auf gleichen Nenner bringen: 1-1/n = (n-1)/n.
Um die Hochzahl runterzubekommen, schreibst du den Limes als
e^(log ((n-1)/n)^n) = e^(n log ((n-1)/n)))
Das führt zu einem unbestimmten Ausdruck, da der Log für n gegen unendlich gegen 0 geht, aber n selbst unendlich läuft.
Daher substituieren wir einfach 1/n = t.
Ich lass das e^ jetzt einfach weg, damit das ganze nicht so unübersichtlich wird, wir behandeln also nur mehr den Exponenten weiter und bekommen nach der Substitution:
1/t * log((1/t -1)*t) = 1/t * log(1-t).
Vergessen dürfen wir dabei nicht, dass sich der Grenzübergang auch verändert, da n -> unendlich ja gleichbedeutend mit t gegen 0 ist für 1/t.
Der Limes von [log(1-t)]/t ist damit ein unbestimmter Ausdruck der Form 0/0, was uns die Anwendung von der Regel von de L'Hospital erlaubt, also leiten wir beide Ausdrücke einmal ab und erhalten [1/(t-1)]/1 = 1/(t-1)
Und für t -> 0 ist dieser Ausdruck 1/-1 = -1.
Der Exponent von e ist also -1, also ist der Grenzwert insgesamt e^-1 = 1/e.
qed.
Erstmal vereinfachen wir den Klammerterm indem wir ihn auf gleichen Nenner bringen: 1-1/n = (n-1)/n.
Um die Hochzahl runterzubekommen, schreibst du den Limes als
e^(log ((n-1)/n)^n) = e^(n log ((n-1)/n)))
Das führt zu einem unbestimmten Ausdruck, da der Log für n gegen unendlich gegen 0 geht, aber n selbst unendlich läuft.
Daher substituieren wir einfach 1/n = t.
Ich lass das e^ jetzt einfach weg, damit das ganze nicht so unübersichtlich wird, wir behandeln also nur mehr den Exponenten weiter und bekommen nach der Substitution:
1/t * log((1/t -1)*t) = 1/t * log(1-t).
Vergessen dürfen wir dabei nicht, dass sich der Grenzübergang auch verändert, da n -> unendlich ja gleichbedeutend mit t gegen 0 ist für 1/t.
Der Limes von [log(1-t)]/t ist damit ein unbestimmter Ausdruck der Form 0/0, was uns die Anwendung von der Regel von de L'Hospital erlaubt, also leiten wir beide Ausdrücke einmal ab und erhalten [1/(t-1)]/1 = 1/(t-1)
Und für t -> 0 ist dieser Ausdruck 1/-1 = -1.
Der Exponent von e ist also -1, also ist der Grenzwert insgesamt e^-1 = 1/e.
qed.
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Oder um die Posts von Hell's Guardian und claus zusammen zu fassen: Aus A folgt A.
Kein Wunder, dass wir Mathematiker so gut bezahlt werden
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