1) Substituiere x->e^x, anschließend integriere partiell. Alternativ kannst du 2x partiell integrieren.
Ist nicht so schwer zu sehen was man tun muss, oder?
Wenn du ein Produkt hast, willst du immer partiell integrieren. Damit das geschmeidig geht, will man als Faktor ein einzelnes x (oder eine Potenz von x, für mehrfache Anwendung). In dem Fall kriege ich das, indem ich mit e^y (umkehrung von ln(x)) oder mit wurzel
(Umkehrung von x^2) substituiere. e^y ist immer zweckmäßiger als alles andere, weil das so schön simple Integrale und Differentiale hat. Also nehmen wir das.
Also:
integral x^2 * ln(x) dx (substitution x->e^x
= integral (e^y)^2 * y * (e^y)' = integral (e^y)^3 *y = integral e^(3y)*y (integriere partiell; wir wollen y ableiten
= 1/3 *y*e^(3y) - 1/3 integral e^(3y) (integral e^(3y) kennen wir
= 1/3*y*e^(3y) - 1/3 * 1/3 * e^(3y) (resubstituiere y->ln(x)
= 1/3*ln(x)*x^3 - 1/9 * x^3 (ausklammern
= 1/9*x^3(3*ln(x)-1)
Protipp für die Zukunft:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^2*ln(x)
WAlpha hat einen "show steps" Knopf wo dir für einfachere Integrale die Schritte angezeigt werden, da musst du nicht mehr um Hilfe bitten
2) Was ein Extremwertproblem ist weißt du? Gut. Du willst also eine Funktion f(x) haben, die du maximieren kannst. Nun hast du aber erstmal eine Funktion mit 2 Variablen (nämlich x^2+y^2), damit kann man natürlich nur blöd arbeiten. Deshalb hast du die Zusatzbedingung, dass x+y=a sein soll. Das heißt y=a-x.
Das kann man nun einsetzen:
x^2+y^2 = x^2+(a-x)^2 = x^2 + x^2 -2xa+a^2
Das ist ein Term in einer Variablen, kann man ja mal ne Funktion draus machen:
f(x) = 2x^2 -2xa+a^2
Extremstellen finden wir über ableiten:
f'(x) = 4x - 2a
f''(x) = 4
4x-2a = 0 <=> 4x=2a <=> x = 1/2a ist der einzige Extremwertskandidat. Da f''(x) > 0 ist es ein Minimum.
Jetzt kann noch y ausgerechnet werden: y=a-x=a-1/2*a = 1/2*a
Also die Lösung: x=y=1/2*a
Siehe da, mein Vorposter hatte recht.
