mathematisches Problem

[LoGL17]

Guten Abend zusammen,

Statistik hatte ich zum Abi das letzte Mal und selbst da war es ein Graus für mich, darum reiche ich mein Problem mal an euch weiter

Aus einer Menge von 45 Fragen werden zufällig 5 Fragen ausgewählt. Nach jeder Wahl gehen sie zurück und könnten gleich noch mal ausgewält werden.
Wie oft muss ich 5 Fragen auswählen, um alle 45 Fragen mindestens ein (oder n-fach) mal ausgewählt zu haben?
Und lässt sich das auch auf mit einem "Garantiefaktor" beantworten. Also: "..., um alle 45 Fragen mit 80% Wahrscheinlichkeit gehabt zu haben?".

Mein Wissen bringt mich so weit:
Für die erste Frage gibt es 45, dann 44, 43, 42 und für die 5. noch 41 Mögliche. Das ergibt 45*44*43*42*41 = 14,7 * 10^7 mögliche 5er Gruppen. Beantwortet das meine erste Frage? Also kamen nach 14,7*10^7 Wahlen auch alle Fragen mal dran? Und kann ich das einfach mit 0,80 multiplizieren um die zweite Frage zu beantworten?

Vielen Dank schon mal!

 

[newnicks]

Ich frage mich wieviel das mit Statistik zu tun hat, aber nun gut.
Man müsste unter diesen Bedingungen unendlich oft auswählen für 100% Wahrscheinlichkeit, denn es strebt nach 100%.
Es ist irrelevant wieviele mögliche Kombinationen es gibt, in deinem Beispiel(?) braucht man sie nicht unterscheiden. Ob 1-5 neue Fragen dabei sind, ist interessanter.

 

[Mojito]

Formulieren wir die Frage erst mal statistisch korrekt, das ist eine klassische "3-mindestens-Aufgabe":
Wie viele Versuche brauche ich mindestens, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens (p) alle Fragen mindestens einmal gezogen zu haben?

Zunächst mal, was ist ein Versuch?
Ein Versuch besteht aus 5 Ziehungen, bei denen es darum geht eine bestimmte Frage zu ziehen. Alle anderen gezogenen Fragen sind dabei irrelevant, da wir am Ende ja alle haben wollen.
Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Versuch eine bestimmte Frage zu erwischen, ergibt sich als Gegenwahrscheinlichkeit von dem Ergebnis, sie nicht zu erwischen.
Und die errechnet sich so:
Bei jeder einzelnen Ziehung liegt die Wahrscheinlichkeit, die gewünschte Frage nicht zu ziehen, bei 44/45. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht, weil die gezogene Frage immer sofort wieder zurückgelegt wird.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit, in einem Versuch aus 5 Ziehungen die gewünschte Frage nicht zu ziehen, liegt demnach bei (44/45)^5.
Das sind ca. 89,4% Chance pro Versuch, eine bestimmte Frage nicht zu treffen. Aber wir rechnen natürlich mit dem ungerundeten Ergebnis weiter.

Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Frage in Versuchen kein einziges mal zu treffen, ist die eben berechnete Wahrscheinlichkeit für einen Einzelversuch hoch : ((44/45)^5)^n

Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Frage in Versuchen mindestens einmal zu treffen, ist die Gegenwahrscheinlichkeit dazu: 1 - ((44/45)^5)^n

Und die Wahrscheinlichkeit, alle 45 Fragen in Versuchen mindestens einmal zu treffen, ist eben jene Wahrscheinlichkeit für eine Frage hoch 45: (1 - ((44/45)^5)^n)^45

Diese Wahrscheinlichkeit soll jetzt größer als (p) sein, also: (1 - ((44/45)^5)^n)^45 > p
Wir lösen nach auf:

1 - ((44/45)^5)^n > p^(1/45)

1 - p^(1/45) > ((44/45)^5)^n

n > log(1 - p^(1/45))/log((44/45)^5)

Jetzt können wir eine beliebige, gewünschte Minimalwahrscheinlichkeit für (p) einsetzen und die nötige Anzahl an Versuchen ausrechnen. Zum Beispiel mit p = 80%:

n > log(1 - 0,8^(1/45))/log((44/45)^5)

n > log(1 - 0,99505)/log(0,89372)

n > log(0,00495)/log(0,89372)

n > (-2,30539)/(-0,04880)

n > 47,24160

Da es nur ganze Versuche gibt, gilt:

n >= 48.

Ich brauche also mindestens 48 Versuche, um mit mindestens 80% Wahrscheinlichkeit jede Frage mindestens einmal gezogen zu haben.



(Woah, Diablo 3 muss gerade echt scheiß langweilig sein )

 

[XanKriegor]

Ich verstehe gar nicht mal so viel von der Antwort.

 

[LoGL17]

Ich frage mich wieviel das mit Statistik zu tun hat, aber nun gut.

Ich mich auch Stochastik war das gesuchte Wort.

Wie viele Versuche brauche ich mindestens, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens (p) alle Fragen mindestens einmal gezogen zu haben?
(...)
Bei jeder einzelnen Ziehung liegt die Wahrscheinlichkeit, die gewünschte Frage nicht zu ziehen, bei 44/45. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht, weil die gezogene Frage immer sofort wieder zurückgelegt wird.

Ich wollte folgendes ausdrücken: Es werden fünf Fragen gezogen. Erst nachdem die fünfte Frage gezogen wurde, werden alle fünf gleichzeitig zurückgelegt. Es beginnt eine neue Ziehung. Wenn ich das richtig verstanden habe müsste sich für die zweite Frage die Wahrscheinlichkeit, die gewünschte Frage nicht zu ziehen, verändern. Es gibt ja nur noch 44 statt 45 Mögliche. (Angenommen die erste war nicht die gesuchte...)

Aber deine Gleichung [n > log(1 - p^(1/45))/log((44/45)^5)] hilft schon sehr weiter, vielen Dank! Für n=200 erreicht mach schon 99,99999922 %.

(Woah, Diablo 3 muss gerade echt scheiß langweilig sein )

Stimmt wohl, aber dafür kannst du mir nicht die Schuld geben!

 

[Mojito]

Ah auch ok. Hatte es so verstanden, dass die gezogene Frage immer direkt zurückgelegt wird. Wenn nach den 5 Ziehungen alle auf einmal zurückgelegt werden, ist die Wahrscheinlichkeit, in einem Versuch die Frage nicht zu ziehen, leicht verändert.
Statt (44/45)^5 hat man dann: (44/45)*(43/44)*(42/43)*(41/42)*(40/41) = 40/45 = 8/9

Das zieht sich natürlich weiter bis unten durch, dann hat man am Ende:

n > log(1 - p^(1/45))/log(8/9)

Für p = 80% sind das:

n > (-2,30539)/(-0,05115)

n > 45,07116

Also:

n >= 46.

 

[claus]

Ich möchte mal anmerken, dass es nicht darum geht eine bestimmte Frage mit >80% zu ziehen, sondern es muss jede der Fragen mit >80% dran sein. Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Fragen sind sicher nicht unabhängig voneinander (Wenn bekannt ist, dass Frage 1 dabei war, wird es unwahrscheinlicher, dass Frage 2 auch dabei ist).
Bei Unabhängigkeit würde aus Frage1 > 80% und Frage2 > 80% nur mit 64% folgen dass man Frage 1 und Frage 2 hatte (4% keine, 16% nur 1, 16% nur 2) [Edit2] und deswegen der Ansatz klappen, aber wir haben keine Unabhängigkeit!

Edit1: Es kann nicht sein, dass man bei nur einem Durchgang (gesamt 5 Fragen) mit einer Wahrscheinlichkeit über 0 jede mindestens einmal hatte.

 

[newnicks]

Eben, daher finden wir wohl eher jemanden, der eine Anwendung schreibt, die es simuliert, anstatt jemanden, der es ausrechnet.

 

[Mojito]

Die Wahrscheinlichkeiten sind unabhängig.

Wenn bekannt ist, dass Frage 1 dabei war, wird es unwahrscheinlicher, dass Frage 2 auch dabei ist

Darum geht es bloß leider nicht, da wir erstens unabhängige Versuche betrachten, und zweitens völlig egal ist, ob mehrere noch nicht gezogene Fragen in einem oder in mehreren Versuchen kommen, solange man am Ende alle hat.

Bei Unabhängigkeit würde aus Frage1 > 80% und Frage2 > 80% nur mit 64% folgen dass man Frage 1 und Frage 2 hatte (4% keine, 16% nur 1, 16% nur 2) [Edit2] und deswegen der Ansatz klappen, aber wir haben keine Unabhängigkeit!

Keine Ahnung, was du damit sagen willst, jedenfalls hat es nicht das geringste mit der Aufgabenstellung zu tun. Die lautet, wie viele Versuche man für 80% insgesamt braucht. Du setzt 80% pro Frage voraus und kombinierst das irgendwie. Nebenbei bemerkt, zeig mir mal den Topf, aus dem ich mit 80% Chance Frage 1 und mit 80% Chance Frage 2 ziehe. Sich gegenseitig ausschließende Wahrscheinlichkeiten summieren sich immer auf 100%. Bei dir ergeben schon zwei von 45 Möglichkeiten 160%...

Es kann nicht sein, dass man bei nur einem Durchgang (gesamt 5 Fragen) mit einer Wahrscheinlichkeit über 0 jede mindestens einmal hatte.

Ist es auch nicht. Wenn man n = 1 in den unteren Term einsetzt, kommt zwar ein p > 0 raus. Allerdings darf man das einfach nicht einsetzen, weil der ganze Term nur eine vereinfachte Binomialkoeffizienten-Darstellung ist. Und wenn man in einen Binomialkoeffizienten "n über k" ein n < k einsetzt (k ist dabei 9: Anzahl Fragen durch Ziehungen pro Versuch), dann ist das Ergebnis per Definition Null.

 

[newnicks]

Claus Beitrag bezog sich nicht genau auf die Aufgabenstellung sondern auf die Probleme dabei.
Zweitens ist die Formel nicht korrekt, was man gut sehen kann, wenn man Werte ändert (Wahrscheinlichkeit, Anzahl).
Drittens, die Wahrscheinlichkeiten sind abhängig(ob die Abhängigkeit vernachlässigbar ist, ist wieder ein anderes Thema).

 

[Mojito]

Zweitens ist die Formel nicht korrekt, was man gut sehen kann, wenn man Werte ändert (Wahrscheinlichkeit, Anzahl).

Na dann mal los. Das würde ich gerne sehen.

Drittens, die Wahrscheinlichkeiten sind abhängig

Sind sie nicht. Die Ziehungen sind es.

Warum kommen eigentlich immer genau dann, wenn es um Stochastik geht, Leute, die meinen alles besser zu wissen?
Wenn ein Physiker über Stringtheorie redet, kommt doch auch keiner, der dazwischenruft "Du hast ja keine Ahnung, der Raum hat nur drei Dimensionen! Sieht man doch!!"

 

[claus]

Die Wahrscheinlichkeiten sind unabhängig.

Weshalb man bei einem Durchgang (5 Fragen gezogen) auch alle 45 Fragen erwischen kann...
Wenn die Ereignisse schon bei nur einem Durchgang nicht unabhängig sind, warum sollten sie bei mehr Durchgängen unabhängig werden?

Keine Ahnung, was du damit sagen willst, jedenfalls hat es nicht das geringste mit der Aufgabenstellung zu tun. Die lautet, wie viele Versuche man für 80% insgesamt braucht. Du setzt 80% pro Frage voraus und kombinierst das irgendwie. Nebenbei bemerkt, zeig mir mal den Topf, aus dem ich mit 80% Chance Frage 1 und mit 80% Chance Frage 2 ziehe. Sich gegenseitig ausschließende Wahrscheinlichkeiten summieren sich immer auf 100%. Bei dir ergeben schon zwei von 45 Möglichkeiten 160%...

Den Topf, aus dem man mehr als eine Frage zieht (es werden schon im ersten Durchgang 5 Fragen gezogen). Das ist übrigens deine Rechnung für 2 statt 45 Fragen, wenn dir zu deiner Rechnung sonst nichts einfällt... (zum Thema 100%: 64%+16%+16%+4% ergeben meines Wissens 100%)

Kleine Rechnung:
Bei 9 Ziehungen gibt es (45*44*43*42*41)^9 mögliche Ergebnisse (bei Unterscheidung der Reihenfolge der Fragen), davon sind 45! (45 für die erste gezogene Frage 44 für die zweite ...) Möglichkeiten mit allen Fragen.
Weil alle Kombinationen gleich wahrscheinlich sind ergibt sich P=(45!)/(45*44*43*42*41)^9~3,8*10^-18, deine Formel ergibt ~4,9*10^-9

Edit: Falls es dich interessiert, ich bin Mathematiker

 

[Mojito]

Weshalb man bei einem Durchgang (5 Fragen gezogen) auch alle 45 Fragen erwischen kann...

Hab ich schon beantwortet....

Wenn man n = 1 in den unteren Term einsetzt, kommt zwar ein p > 0 raus. Allerdings darf man das einfach nicht einsetzen, weil der ganze Term nur eine vereinfachte Binomialkoeffizienten-Darstellung ist. Und wenn man in einen Binomialkoeffizienten "n über k" ein n < k einsetzt (k ist dabei 9: Anzahl Fragen durch Ziehungen pro Versuch), dann ist das Ergebnis per Definition Null.

--------------

Kleine Rechnung:
Bei 9 Ziehungen gibt es (45*44*43*42*41)^9 mögliche Ergebnisse (bei Unterscheidung der Reihenfolge der Fragen), davon sind 45! (45 für die erste gezogene Frage 44 für die zweite ...) Möglichkeiten mit allen Fragen.
Weil alle Kombinationen gleich wahrscheinlich sind ergibt sich P=(45!)/(45*44*43*42*41)^9~3,8*10^-18, deine Formel ergibt ~4,9*10^-9

Die Ziehungen sind abhängig, deshalb ist diese Rechnung schlicht unzulässig.

Edit: Falls es dich interessiert, ich bin Mathematiker

Warum glaube ich das nur nicht?...

 

[newnicks]

Das würde ich gerne sehen.

Kannst du auch, aber ob ich es zeige? Ich bin ein fauler Mensch.

Sind sie nicht. Die Ziehungen sind es.

Klugscheisser

Warum kommen eigentlich immer genau dann, wenn es um Stochastik geht, Leute, die meinen alles besser zu wissen?
Wenn ein Physiker über Stringtheorie redet, kommt doch auch keiner, der dazwischenruft "Du hast ja keine Ahnung, der Raum hat nur drei Dimensionen! Sieht man doch!!"

Weil die Leute denken sie hätten Ahnung. Variablen schieben bis es aussieht als ob es Sinn macht, kann jeder.

 

[XanKriegor]

Warum glaube ich das nur nicht?...

Weil du auf einen unwiderlegbaren wissenschaftlichen Beweis, dass es wirklich so ist, wartest?

 

[claus]

Die Rechnung ist die Rechnung für die Laplacewahrscheinlichkeit.
Jede Kombination von Fragen ist gleich wahrscheinlich (5er-Blöcke beachten), nach Laplace ist dann die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis der Quotient der Möglichkeiten, die das Ereignis erfüllen, durch die Gesamtmöglichkeiten. Mehr ist das nicht.


Bei einem Durchgang kann Frage 1 gezogen werden oder?
Frage 2 bis Frage 45 (einzeln betrachtet) auch oder.
Bei Unabhängigkeit ist P(F1+F2+...+F45)=P(F1)*P(F2)*...*P(F45), die linke Seite ist 0, die rechte nicht, also waren die Ereignisse F1="Frage1 wird mindestens einmal gezogen" bis F45="Frage45 wird mindestens einmal gezogen" offensichtlich nicht unabhängig, egal ob deine Formel anwendbar ist.
Edit: Nennt sich indirekter Beweis

 

[dkov]

Bei einem Durchgang kann Frage 1 gezogen werden oder?
Frage 2 bis Frage 45 (einzeln betrachtet) auch oder.
Bei Unabhängigkeit ist P(F1+F2+...+F45)=P(F1)*P(F2)*...*P(F45), die linke Seite ist 0, die rechte nicht, also waren die Ereignisse F1="Frage1 wird mindestens einmal gezogen" bis F45="Frage45 wird mindestens einmal gezogen" offensichtlich nicht unabhängig, egal ob deine Formel anwendbar ist.
Edit: Nennt sich indirekter Beweis

Schöner Beweis... Du argumentierst nur nachwievor an der Aussage von Mojito vorbei.

Ein Versuch besteht aus 5 Ziehungen, bei denen es darum geht eine bestimmte Frage zu ziehen.

Hier sind die Versuche unabhängig.

@newnicks
Simulationen und ein bisschen rumprobieren, waren glaube ich nicht gefragt

 

[claus]

Die Versuche können nicht unabhängig sein, sondern nur Ereignisse (stochastische Unabhängigkeit ist nur für Ereignisse definiert).

Mojito verwendet die Unabhängigkeit an der Stelle mit dem da kann man einfach hoch 45 nehmen, ich hab für n=1 und n=9 vorgerechnet, dass die Unabhängigkeit falsch ist, für n=1 kommt nur ein "meine Formel soll für n=1 nicht gelten, weil da irgendwelche Binomialkoeffizienten sind" (die ich in der Formel nicht entdecken kann) [Es ist mir egal, ob die Formel stimmen soll, dass die Unabhängigkeit nicht erfüllt ist, ist für n=1 offensichtlich] zu n=9 kam nur "darf man nicht, weil Ziehungen abhängig", dummerweise hat Laplacewahrscheinlichkeit eines Ereignisses nichts mit Unabhängigkeit zu tun (Es wird nur ein Ereignis betrachtet)

Die Ergebnisse der Versuche beeinflussen sich nicht gegenseitig, aber nimm dir mal einen Würfel und Würfel 2 mal hintereinander.
Betrechte die Ereignisses A="mindestens eine 1" und B="mindestens eine 2"
Die Wahrscheinlichkeit für B ist P(B)=11/36,
die bedingte Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung A P_A(B)=2/11
Bei genügend häufiger Ausführung solltest du das feststellen, insbesondere ist
P(A und B)=P(A)*P_A(B)=2/36~5,56%
(Laplace: 2 der 36 Kombinationen haben eine 1 und eine 2), nicht wie bei Mojito P(A)*P(B)=121/1296~9,34%
Die beiden Würfelwürfe beeinflussen sich nicht, die Ereignisse A und B sind trotzdem abhängig voneinander.

Im beschriebenen Problem tritt das selbe auf (wenn bekannt ist, dass Frage1 dabei ist, gibt es eine Frage weniger die Frage2 sein kann, weil ja eine schon Frage1 ist...).

 

[KH183]

Huihui, ein spannendes Topic im OT

Im beschriebenen Problem tritt das selbe auf (wenn bekannt ist, dass Frage1 dabei ist, gibt es eine Frage weniger die Frage2 sein kann, weil ja eine schon Frage1 ist...).

Hat mojito in seinem zweiten Post auch genau so korrekt dargestellt.


Wenn die Frage lautet:
"Wie viele Versuche , bei denen jeweils - ohne Zurücklegen innerhalb der Versuche - fünf Fragen aus einer Menge von 45 Fragen gezogen werden, benötigt man, um mit einer Wahrscheinlichkeit von p alle Fragen mindestens einmal gehabt zu haben?" - wäre ich genauso rangegangen wie mojito.

justmy2cent

 

[newnicks]

Dann hättest du ebenfalls falsche Ergebnisse. Mojito hat nur einen Teil seiner Formel angepasst.