Stochastik

[newnicks]

Zum Thema Ziegenproblem: Ich hatte mir mal den Wikipedia-Artikel durchgelesen. Es ist wirklich witzig wieviel manche Leute zu 2 solch simplen Aufgaben schreiben konnten. Jedenfalls gab es 2 sich ausschließende Annahmen, wenn ich mich nicht irre. (wird übrigens in einem gewissen Film nicht erwähnt, weiß aber nicht mehr der Film heißt)

b2t: Wenn B 7 mal raten würde, wäre jede Möglichkeit gleich wahrscheinlich, rät eher nicht so oft, ist nur die letzte Möglichkeit wahrscheinlicher. Der Lösungsweg ist entsprechend simpel:
1/7*10+1/7*5=15/7
4/7*(-4)=-16/7
Somit bekommt A im Durchschnitt etwa pro 7 Spiele einen Euro mehr als er verliert.

 

[TomGrenn]

[...] Wer von beiden ist besser dran? [...]

[...] Was wäre dir lieber, [...]?

Und schon sind wir wieder bei der unzureichenden Formulierung der Aufgabenstellung. Was heißt denn nun "besser"?

Lieber wäre mir ohne Zweifel, die Milliarde zu gewinnen. Mathematisch betrachtet allerdings ist es nur besser zu gewinnen (anstatt nichts zu bekommen oder gar zahlen zu müssen). Erst wenn das Spiel (unendlich) wiederholt, wird interessant, wieviel man im Durchschnitt bekommt / zahlen muss.
Ich bleibe dabei, bei einem einmaligen Durchgang geht es um die reine Wahrscheinlichkeit des Gewinns, nicht um die Höhe des Gewinnbetrages.


edit: formulieren wir mal die Frage "Was wäre Dir lieber" weiter aus:
Spiel [1] hat eine Gewinnchance von 1% auf 1 Milliarde €, allerdings muss im anderen Fall (99% Chance) 1 € gezahlt werden.
Spiel [2] hat eine Gewinnchance von 99 % auf 0,01 €, allerdings muss im anderen Fall (1% Chance) 10 € gezahlt werden.
Aus Sicht des Spielanbieters ist Spiel [2] besser, da er bei unendlich viel Kundschaft Gewinn macht (100 Spiele: 99 cent Verlust, 10 € Gewinn). Dieses Gedankenspiel gilt natürlich entsprechend umgekehrt für Spiel [1].
Aus Sicht des Spieleteilnehmers ist Spiel [1] natürlich verlockender: nur ein Euro Einsatz für einen potentiellen Gewinn von 1 Milliarde? Klar machen wir da mit! Für den einzelnen Spieler ist aber die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen relativ schlecht. Wenn man also nur einmal teilnimmt, entscheidet eher die Gier auf einen so großen Gewinn bei einem "relativ" geringen Einsatz. Drum stellen wir das Spiel mal auf Nullsummenspiele für den Spieleanbieter um, um zu sehen, was einem "lieber" ist:
Spiel [1b] hat eine Gewinnchance von 1% auf 1 Milliarde €, allerdings muss im anderen Fall (99% Chance) 10.101.010,10 € gezahlt werden. Spiel [2b] hat eine Gewinnchance von 99 % auf 0,01 €, allerdings muss im anderen Fall (1% Chance) 0,99 € gezahlt werden.
Dem Spielanbieter kann es nun relativ egal sein, doch wie sieht es für den Spieler aus?

Was wäre Dir lieber?

 

[Labarna]

Ok, formulieren wir die Frage vom in den Raum geworfenen "was wäre dir lieber?" um, denn diese Frage ist von subjektiven Wertungen abhängig. Besser wäre die Fragestellung (auf das Ausgangsbeispiel des Threadstarters bezogen): "Wer erhält bei n Durchführungen des Spiels voraussichtlich mehr Geld, A oder B?"

Für deine Baheuaptung, es käme nicht auf die Gewinnhöhe an, hätte ich gerne einen Beweis. Auf den ersten Blick erscheint sie nämlich abwegig. A erhält mit einem Erstrundensieg schon mehr Geld (10 €) als B mit zwei Siegen (8 €). Wieso sollte es nicht auf die Gewinnhöhe ankommen?

Ich bleibe dabei, bei einem einmaligen Durchgang geht es um die reine Wahrscheinlichkeit des Gewinns, nicht um die Höhe des Gewinnbetrages.

Mathematisch ist es doch völlig egal, ob das Spiel unendlich oft oder einmal durchgeführt wird. 100% Chance auf 1 € und 50% Chance auf 2 € sind gleichwertig, auch wenn nur einmal gespielt wird.
Es mag rein subjektive, mit der Risikofreude zusammenhängende Präferenzen geben. Aber wer bei n Durchführungen eines Spiels besser dran ist, ist auch bei einer besser dran.

Wenn es wirklch bei einmaligem Spiel nur auf die Gewinnchance ankommt, und nicht die Höhe schlage ich dir folgendes Spiel vor zwischen uns beiden:
Du denkst dir eine ganze, natürliche Zahl aus zwischen (einschließlich) 1 und 10 und schickst diese per PM an einen Dritten als Schiedsrichter (nur zu Beweiszwecken). Ich habe einen Rateversuch. Offensichtlich ist die Gewinnchance für dich also sehr gut. Das Spiel wird nur einmal durchgeführt.
Wenn du gewinnst, überweise ich dir einen Euro. Wenn ich gewinne, überweist du mir 1000 €. Es kommt ja bei einmaligem Spielen nur auf die Gewinnchance, nicht auf die Höhe an. Das Spiel ist also extrem gut für dich.

/edit:
Einsatz und möglicher Gewinn stehen in einem Verhältnis zueinander (1/1000). Die Gewinnchance lässt sich ebenfalls in einem solchen Bruch ausdrücken (1/10). Selbstverständlich muss man diese beiden Brüche in ein Verhältnis zueinander setzen, um zu sehen, "wer besser dran" ist. Auf die Anzahl der Spieldurchführungen kommt es nicht an.

 

[TomGrenn]

Ich seh's ein.

Für das Risiko muss die Gewinn- bzw. Verlustsumme miteinberechnet werden (also meine Formeln auf der ersten Seite mit der Gewinnsumme multiplizieren für den durchschnittlichen Gewinn oder mit dem zu zahlenden Tribut, um das Verlustrisiko zu berechnen). Derjenige mit dem geringeren Risiko muss nicht der mit der geringeren Gewinnchance sein.
Ich hab's erst gemerkt, als ich gedanklich das Rätsel a) mit genau gleichen Beträgen und b) mit absurd unterschiedlichen Beträgen durchgespielt habe.

 

[Z3phyr]

Da keiner mehr probieren will poste ich mal mein Ergebnis:

1. Raterunde:
1/7 Chance auf +10 €
6/7 Chance die Zahl nicht zu erraten

2. Raterunde
1/6 auf +5 €
5/6 die Zahl nicht zu erraten

3. Raterunde:
1/5 auf +- 0
4/5 die Zahl nicht zu erraten » -4 €

Gesamt also:
1/7 auf +10 €
6/7 * 1/6 = 1/7 auf +5 €
6/7 * 5/6 * 1/5 = 1/7 auf +-0 €
6/7 * 5/6 * 4/5 = 4/7 auf -4 €

X: Gewinnsumme {0, 5, 10, -4}
Erwartungswert ist damit:
E(X) = 1/7 * 10 + 1/7 * 5 + 1/7 * 0 + 4/7 * (-4) = -1/7

d.h. A kommt besser weg als B.
(deckt sich mit dem was newnicks oben gepostet hat)